Bueno, una introducción a la perspectiva cónica. Los diversos teoremas de los matemáticos, en particular este de gerard désargues (1593 - 1662) nos plantea las propiedades de un nuevo concepto del espacio, muy utilizado intuitivamente por muchos pintores desde el renacimiento, esta expresión del espacio, basado en la proyectividad y los puntos del infinito, se encuentra a mitad de camino entre las concepciones espaciales de la geometría euclidiana y las topológicas.
Este sencillo, pero fundamental teorema, es la base de la perspectiva cónica que, apoyado en la geometría proyectiva, constituye uno de los más sólidos, bellos y lógicos edificios creados por la mente humana para expresar un espacio tridimensional sobre la superficie del plano. Como dice m. Kline: en el lugar de las matemáticas hay muchas moradas, y de entre ellas, la más elegante es la geometría proyectiva. Y sentencia a. Cayley: la geometría proyectiva es toda la geometría.
Teorema de désargues:
Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y si sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados. (x-y-z).
También:
Si dos triángulos (a b c abc) están en perspectiva desde un punto (o), entonces están en perspectiva desde una recta (x y z).
Ahora las propiedades entre dos figuras (los triángulos abc - Abc), ya no son de congruencia, semejanza, equivalencia, sino que se trata de propiedades de colinealidad (puntos sobre una misma recta) concurrencia (líneas que pasan por un punto) y todas las consecuencias de la proyectividad y las secciones planas.
La ilustración que exponemos explica gráficamente que las propiedades del teorema se conservan tanto en el plano como en el espacio.
En este último caso, al constituir cada triángulo un plano diferente, los puntos XYZ, se encuentran en la recta de intersección de ambos planos.
También pueden interpretarse estas propiedades como las secciones planas de la pirámide cuyo vértice es o, y sus aristas oaa, obb, occ.
La recta XYZ, lugar de concurrencia de los lados de los triángulos, constituye una recta del infinito, como ocurre en el caso extremo (cuando los triángulos se encuentren en planos paralelos), en este acceso al infinito, como lugares propios de la geometría, estriba la gran originalidad del teorema de désargues para representar el espacio.
Y voila, de aquí sale la cónica. Que te parece?
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