Pregunta sobre rigging squash stretch

Hola a todos, quería hacer una pregunta sobre la forma tradicional de hacer Squash Stretch y que he visto en varios tutoriales. Estoy estudiando animator friendly rigging y tratando de entender la base del rigging más que seguir tutoriales, pero me he quedado pensando en algo que tal vez no sea tan difícil de deducir, pero no he dado con el punto. Aquí va:
Entiendo que la idea es que cuando se estira un objeto en un eje aumentando su escala (por ejemplo, en y), para conservar el volumen, la escala en los otros ejes (x, z) deben disminuir, y así mismo cuando en y la escala disminuye, debería aumentar la escala en x,z, es decir hay una relación inversa entre los valores de escala de y respecto a x,z. Lo que no entiendo es porque está relación inversa esta dada por 1 / raíz cuadrada de (escala actual / escala original). Debe tener su explicación esa raíz cuadrada pues, por ejemplo, cuando leí dicha relación por primera vez pensé que la relación simplemente seria escalax=1/escalay y no se me ocurrió la raíz cuadrada. Entiendo se que está última podría ser una relación inversamente proporcional muy lineal, pero la verdad no entiendo de dónde sale está relación con raíz cuadrada y porque todos los tutoriales dan por hecho esto sin dar al menos una explicación de porque.

La pregunta puede ser básica, un concepto simple de matemática, pero no he dado con él.

Si saben sobre esto me gustaría saberlo. Muchas gracias.

Yo apostaría a que es porque para mantener el volumen si escalas en el eje longitudinal lo que cambias transpersalemente son dos dimensiones, o sea son áreas y no longitudes lo que tienen que variar para compensar el cambio de longitud de ese volumen, por lo que la escala será 1/raíz(escala) para cada uno de los ejes que, aplicados a la formula correspondiente formaran la escala equivalente. Si recordará algo de integrales triples seguramente podría demostrarse con formas sencillas como esferas o cilindros, pero estoy muy oxidado en matemáticas y en integrales sobre todo.

Lo he intentado sobre un papel con un cilindro por curiosidad y son demasaidas las lagunas que hay en mí anciana mente ya :-(aunque más o menos si lo haces con un ejemplo numérico te darás cuenta que es así.

Coge un cilindro de radio 2metros y longitud 4 metros, por ejemplo, y calcula su volumen. Aproximado 50,24m3.

Ahora coge el mismo cilindro y estiralo a 6 metros. Si mantienes el volumen, ¿Cuál tendrá que ser su radio? 1,63299 aproximadamente.

Escala aplicada a la longitud del cilindro= 1,5 (4*escala=6, entonces escala = 1,5).

Escala aplcada al radio =0.816495 (2* escala = 1.63299, entonces escala radio = 0.816495).
1/raíz(1.5) = 0.816495.

La escala aplicada al radio equivale a la escala aplicada al diámetro que representa en un cilindro la escala tanto en el eje X e y. Esto no lo demuestra para todos los casos, pero se comprueba que es cierto en este y por qué.

Espero haberte ayudado un poco. Saludos.

Hola mol, gracias por tu respuesta, me ha servido mucho. He hecho el ejercicio que me dices con el cilindro y con una esfera y efectivamente sirve mucho para comprender un poco más la conservación de volumen. También me has dado ideas pues en realidad yo lo estaba mirando como una longitud y no como un volumen y por eso no sabía cómo atacar el problema. Sin embargo, me gustaría profundizar más en la forma cómo se deduce la relación, pues la idea es analizar cómo se podría conservar el volumen en un objeto donde se deba deformar más en una coordenada que en otra. Es decir, en un cilindro si la altura es la coordenada y, y estiras en y, el radio cambiara en x y z uniformemente (el radio será igual en todas las direcciones), pero si quieres que el objeto se deforme de formano uniforme sería bueno encontrar una relación para esto, pero hey sin duda has dado donde es y tu respuesta me sirve para ubicarme más pues estaba perdido buscando por dónde no era. Gracias mol.

Yo apostaría a queue es porque UE para mantener el volumen si escalas en el eje longitudinal lo queue cambias transpersalemente son dos dimensiones, o sea son áreas y no longitudes lo queue tienen queue variar para compensar el cambio de longitud de ese volumen, por lo queue la escala será 1/raíz(escala) para cada uno de los ejes queue aplicados a la formula correspondiente formaran la escala equeuivalente. Si recordará algo de integrales triples seguramente podría demostrarse con formas sencillas como esferas o cilindros, pero estoy muy oxidado en matemáticas y en integrales sobre todo.

Lo he intentado sobre un papel con un cilindro por curiosidad y son demasaidas las lagunas queue hay en mí anciana mente ya :-(auquenue más o menos si lo haces con un ejemplo numérico te darás cuenta queue es así.

Coge un cilindro de radio 2metros y longitud 4 metros, por ejemplo, y calcula su volumen. Aproximado 50,24m3.

Ahora coge el mismo cilindro y estiralo a 6 metros. Si mantienes el volumen, ¿Cuál tendrá queue ser su radio? 1,63299 aproximadamente.

Escala aplicada a la longitud del cilindro= 1,5 (4*escala=6, entonces escala = 1,5).

Escala aplcada al radio =0.816495 (2* escala = 1.63299, entonces escala radio = 0.816495).
1/raíz(1.5) = 0.816495.

La escala aplicada al radio equeuivale a la escala aplicada al diámetro queue representa en un cilindro la escala tanto en el eje X e y. Esto no lo demuestra para todos los casos, pero se comprueba queue es cierto en este y por queué.

Espero haberte ayudado un poco. Saludos.

Bueno creo que finalmente no era tan complejo hallar la relación. Teniendo la ecuación de volumen de mi geometría (por ejemplo, el cilindro), teniendo en cuenta que el volumen final y el inicial son iguales simplemente igualo las ecuaciones y así obtengo la relación despejando la variable de escala que en este caso escala=alturaifinal/alturainicial, o escala=radio final/radio inicial. Remplazando y despejando se obtiene fácilmente la relación escalax=1/raizcuadrada (escalay).

No fue necesario integrales, a menos que uno quiera demostrar de dónde viene el volumen del objeto, pero eso no es necesario y ya es otro cuento.

Una vez más gracias.

De nada, me alegro haberte ayudado. Yo mismo no estaba muy seguro de si estaba en lo cierto. Hace mucho tiempo ya de mis clase de física en primero de Carrera. Pero parece que no he perdido del todo el mojo. Saludos.