El problema es que tienes la textura asignada a la malla a través de un modificador UVW Map que está vinculado a la jerarquía del esqueleto. Cuando el hueso rota, la coordenada de mapeo también lo hace, desplazando la textura.
La solución es separar las coordenadas UV de la transformación del esqueleto. Debes aplicar un modificador UVW Unwrap a tu modelo y guardar las coordenadas UV de forma fija. En primer lugar, selecciona tu malla con el skin aplicado. Añade un modificador Unwrap UVW por encima del modificador Skin en la pila. Dentro de Unwrap UVW, abre el editor y asegúrate de que los UVs están correctamente desplegados y organizados.
A continuación, debes colapsar o aplicar la pila de modificadores para congelar las coordenadas UV. Una forma segura es usar la herramienta Collapse To. Haz clic derecho sobre el objeto y elige Collapse To. Esto colapsará todo hasta el estado actual, convirtiendo la malla en un Editable Poly o Mesh con las deformaciones del skin y las UVs intactas pero independientes. Asegúrate de tener un backup de tu archivo antes de colapsar.
Después de esto, las coordenadas UV estarán fijas a la geometría y ya no seguirán la rotación de los huesos. La textura se mantendrá en su sitio durante la animación. Si necesitas hacer más ajustes al rig o al skin, deberás trabajar en una copia de tu archivo guardado antes de colapsar, ya que este proceso es generalmente irreversible.
Para trabajos actuales, es una práctica estándar realizar todo el proceso de unwrapping y layout de UVs antes de asignar el skin y el rig. Esto evita este problema por completo.